constと奉行の会計ソフトを連動させる場合、一部同じ機能があると思うのですが、どちらのソフトで運用するのが良いと考えられますか？
間違いなくConstだと考えております。
弊社代表は以前応研の「建設大臣」のPMをしていたことがあり、会計ベース（振替伝票入り口）からの原価管理には無理があると考え、原価管理システム（原価が入り口）を開発しました。
また、基本的に会計ソフト側では「工事管理」すら不要だと考えております。
ですので、工事管理対応していない会計ソフトでも運用は可能です。
会計側で工事マスター管理しないのであれば、会計側では工事、業者などのマスターの連携は不要になりますし、マスターデータも一本化（工事などのマスターはConstのみの運用になりますが）できます。
原価に関する数字はConstのみで把握する。
会計側の数字（例えば「普通預金に現金を預け入れた」など工事原価が関係ない仕訳）は会計側で把握する、という方法を推奨しています。
（会社全体の数字は会計側で確認することになります）